शंकु परिच्छेद : वृत्त (Conic Section : Circle)
जैसा कि हम जानते हैं कि किसी शंकु के आकर के पृष्ठ व किसी समतल के परिच्छेद से प्राप्त होने वाला वक्र शांकव कहलाता है इसका अधिक अध्ययन आगे करेंगे जिसमें परवलय अतिपरवलय आदि अध्याय होंगे यहाँ पर हम केवल वृत्त का अध्ययन करेंगे ा
वृत्त (Circle):-
किसी समतल में यदि C कोई स्थिर बिन्दु है तथा चर बिन्दु P = P(x, y) इस पर इस प्रकार हों की इन दोनों बिन्दुओं के बीच की दूरी हमेशा एकसमान रहे अर्थात अचर रहे बिन्दु P का बिन्दुपथ वृत्त कहलाता है ा स्थिर बिन्दु C वृत्त केन्द्र तथा C से P तक की दूरी वृत्त की त्रिज्या (Radius) कहलाती है ा
वृत्त के मानक समीकरण (Standard Equation of a Circle):-
यहाँ पर वृत्त का समीकरण ज्ञात करेंगे जब वृत्त का केन्द्र व त्रिज्या ज्ञात हो
माना C = C (h ,k ) वृत्त केन्द्र है तथा त्रिज्या a है माना कोई बिन्दु P = P (x , y ) वृत्त पर स्थिर बिन्दु है तब C P वृत्त की त्रिज्या होगी अर्थात C P = a होगा
अब दो बिंदुओं के बीच की दूरी सूत्र से जैसा की चित्र में दिया है
CP
= √(x-h)2
+ (y-k)2 ………….(i)
चूँकि CP
= a वृत्त की त्रिज्या
इसलिए a= √(x-h)2
+ (y-k)2
दोनों तरफ वर्ग करने पर
(x-h)2
+ (y-k)2 = a2 यही वर्ग का अभीष्ट समीकरण है
वृत्त के केन्द्र के निर्देशांक (Coordinates of the center of a circle) :-
वृत्त का समीकरण (x-h)2 + (y-k)2 = a2
⇒ x2 + y2 -2hx -2ky + h2 + k2 - a2 = 0
वृत्त के केन्द्र का x -निर्देशांक = -x का गुणांक /2
वृत्त के केन्द्र का y -निर्देशांक = -y का गुणांक /2
इस विधि का उपयोग करने के लिये x2 व y2 गुणांक इकाई होने चाहिए
वृत्त का समीकरण जब केन्द्र मूलबिन्दु हो :-
जब केन्द्र मुलबिन्दु हो अर्थात केन्द्र के निर्देशांक (h, k) = ( 0, 0)
h = 0 & k = 0 के मान वृत्त समीकरण (x-h)2 + (y-k)2 = a2 में रखने पर
(x-0 )2 + (y-0)2 = a2
x2 + y 2 = a2 ---------------(ii) होगा
जब वृत्त मूलबिन्दु से होकर जाता है :-
जब वृत्त मूलबिन्दु से होकर जाता है अर्थात P(x, y) = (0, 0)
त्रिज्या a तथा केन्द्र (h, k) हैं तब वृत्त का समीकरण
(0-h )2 + (0-k)2 = a2 या h2 + k2 = a2 ...........(i)
तथा वृत्त का समीकरण
(x-h)2 + (y-k)2 = a2 ................(ii)
समीकरण (i) से a2 का मान समीकरण (ii) में रखने पर
(x-h)2 + (y-k)2 = h2 + k2
⇒ x2 + y2 -2hx -2ky + h2 + k2 - a2 = h2 + k2
⇒ x2 + y2 -2hx -2ky = 0
वृत्त का व्यापक समीकरण (General Equation of Circle) :-
माना वृत्त का केन्द्र C(h, k) व त्रिज्या a है तब वृत्त का समीकरण (x-h)2 + (y-k)2 = a2
⇒ x2 + y2 -2hx -2ky + h2 + k2 = a2
⇒ x2 + y2 -2hx -2ky + h2 + k2 - a2 = 0
माना -h = g & -k = f
तब वृत्त का समीकरण x2 + y2 +2gx +2fy + h2 + k2-a2 = 0
वृत्त के केन्द्र के निर्देशांक (Coordinates of the center of a circle) :-
वृत्त का समीकरण (x-h)2 + (y-k)2 = a2
⇒ x2 + y2 -2hx -2ky + h2 + k2 - a2 = 0
वृत्त के केन्द्र का x -निर्देशांक = -x का गुणांक /2
वृत्त के केन्द्र का y -निर्देशांक = -y का गुणांक /2
इस विधि का उपयोग करने के लिये x2 व y2 गुणांक इकाई होने चाहिए
वृत्त का समीकरण जब केन्द्र मूलबिन्दु हो :-
जब केन्द्र मुलबिन्दु हो अर्थात केन्द्र के निर्देशांक (h, k) = ( 0, 0)
h = 0 & k = 0 के मान वृत्त समीकरण (x-h)2 + (y-k)2 = a2 में रखने पर
(x-0 )2 + (y-0)2 = a2
x2 + y 2 = a2 ---------------(ii) होगा
जब वृत्त मूलबिन्दु से होकर जाता है :-
जब वृत्त मूलबिन्दु से होकर जाता है अर्थात P(x, y) = (0, 0)
त्रिज्या a तथा केन्द्र (h, k) हैं तब वृत्त का समीकरण
(0-h )2 + (0-k)2 = a2 या h2 + k2 = a2 ...........(i)
तथा वृत्त का समीकरण
(x-h)2 + (y-k)2 = a2 ................(ii)
समीकरण (i) से a2 का मान समीकरण (ii) में रखने पर
(x-h)2 + (y-k)2 = h2 + k2
⇒ x2 + y2 -2hx -2ky + h2 + k2 - a2 = h2 + k2
⇒ x2 + y2 -2hx -2ky = 0
वृत्त का व्यापक समीकरण (General Equation of Circle) :-
माना वृत्त का केन्द्र C(h, k) व त्रिज्या a है तब वृत्त का समीकरण (x-h)2 + (y-k)2 = a2
⇒ x2 + y2 -2hx -2ky + h2 + k2 = a2
⇒ x2 + y2 -2hx -2ky + h2 + k2 - a2 = 0
माना -h = g & -k = f
तब वृत्त का समीकरण x2 + y2 +2gx +2fy + h2 + k2-a2 = 0
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